Metoda variasi
Disamping teori gangguan yang telah
dipelajari pada bagian sebelumnya, pendekatan yang lain yang disebut
sebagai metoda variasi telah lama digunakan untuk menerapkan mekanika
kuantum ke dalam berbagai masalah. Khususnya dalam tahun-tahun terakhir,
perkembangan komputer modern telah memfasilitasi penggunaan yang
berharga dari metoda perhitungan yang didasarkan pada metoda variasi.
Dalam bagian ini kita akan mempelajari metoda variasi. Sekarang, kita
memulainya dengan prinsip variasi.
(3.21)
Nilai ?[?] yang bergantung pada pilihan dari ? tidak lah lebih kecil dari nilai eingen terendah E0 untuk persamaan eigen ??? = E? .
(3.22)
Kesamaan dari rumus ini hanya berlaku untuk sebuah kasus khusus di mana ?[?] adalah sebuah fungsi eigen yang berkaitan dengan E0. Rumus ini yaitu persamaan (3.22) disebut sebagai prinsip variasi.
[Bukti]
? dapat diekspansikan dalam suku-suku dari fungsi eigen {?i} untuk ?? sebagai ? = sigmaton ci?i. Perhitungan ?[?]-E0 dengan cara melakukan mengekspansi ?, menggunakan ???i = Ei?i dan juga memperhatikan sifat normalitas dari {?i}, kita akan mendapatkan
Ketidaksamaan yang terakhir diturunkan dari hal-hal berikut; Eo adalah nilai eigen terendah dan sebuah nilai absolut yang tidak dapat menjadi negatif. Karena {?i} tidak dapat menjadi nol untuk seluruh kasus yang mungkin dari variabel-varibelnya, kesamaannya memerlukan ci = 0 untuk seluruh {?i} dengan energi yang dimiliki Ei lebih besar dari E0. Ini akan menghasilkan kesimpulan bahwa sebuah nilai yang tidak nol untuk koefisien ci dalam ekspansi ? dalam suku-suku {?} hanya diijinkan jika Ei = E0. Hanya dalam kasus ini ??? = E0? dapat dipenuhi, dan ? menjadi fungsi eigen yang berkaitan dengan nilai eigen E0. Dengan kondisi yang sama, jika ? adalah sebuah fungsi eigen dari E0 memenuhi ??? = E0?, penyebut dari persamaan (3.21) menjadi ??*E0?dq = E??*?dq, dan akan memberikan ?[?] = E0. Karenanya kesamaan akan berlaku hanya jika ??? = E0?, dalam kasus di mana ? adalah fungsi eigen degan nilai eigen terendah E0.
Prinsip variasi memberikan sebuah petunjuk untuk mendapatkan fungsi gelombang dan nilai eigen untuk keadaan dasar. Untuk maksud ini, ? harus ditentukan sedemikian rupa hingga nilai ?[?] dengan menggunakan ? dapat menjadi minimum . Resultan ? adalah fungsi eigen dari nilai eigen terendah E0, yang juga fungsi gelombang dari keadaan dasar. Ini akan memberikan kesimpulan bahwa ? ini akan menghasilkan ?[?] yang berkaitan dengan keadaan dasar dengan nilai energi E0.
Sekarang kita mencoba untuk melakukan tes pada fungsi-fungsi yang lebih luas secara lebih efisien. Sebuah kombinasi linier dari n buah fungsi-fungsi ?1, ?2, ?3,…, ?n
(3.23)
dapat
digunakan untuk melakukan tes dalam jumlah yang terbatas dari fungsi
coba yang diekspresikan oleh persamaan (3.23), dengan menyatakan bahwa
koefisien ekspansi {ci} sebagai variabel yang dapat
dirubah dan secara terus-menerus dilakukan variasi. Meskipun terdapat
batasan yang dikarenakan oleh pilihan dari {?i}, kita dapat memperoleh hasil yang terbaik untuk tes seluruh kombinasi linier yang sembarang dari {?i} sebagaimana juga tes dengan masing-masing fungsi dari ?1 hingga ?n. Dalam cara ini, prinsip variasi digunakan untuk menentukan deret dari {ci} sedemikian rupa sehingga {ci}
dapat menuju pada ?[?] yang minimum. Prosedur ini disebut sebagai
metoda variasi dengan menggunakan pendekatan kombinasi linier (metoda
variasi Ritz)
Dengan memasukkan persamaan (3.23) ke dalam definisi dari ?[?] akan menghasilkan persamaan berikut.
(3.24)
Dalam ekspresi ini penjumlahan untuk i dan j harus diambil dari 1 hingga n. Hij dan Sij adalah elemen dari matriks n x n dan didefinisikan dengan integral berikut.
(3.25)
(3.26)
Sij disebut sebagai integral tumpang tindih (overlap) antara ?i dan ?j.
Berdasarkan prinsip variasi , ?[?] harus dapat diminimalisasi dengan merubah {ci}, yang merupakan koefisien yang diperkenalkan dalam definisi tentang ?. Karena ci dan c*i adalah kompleks konjugat satu dengan yang lainnya, kita mungkin mengambil satu dari mereka sebagai sebuah variabel independen. Karenanya, kita akan mendapatkan kondisi untuk ??/?c*i = 0. Untuk kemudahan, kita dapat menulis ulang persamaan (3.24) sebagai
(3.27)
Diferensiasi pada kedua sisi dari persamaan ini terhadap c*i akan memberikan
(3.28)
Dengan menggunakan kondisi ??/?c*i = 0, kita mendapatkan
(3.29)
Ekspresi ini adalah sebuah himpunan dari persamaan simultan untuk {cj} yang juga sama dengan persamaan (3.16) yang terdapat dalam bagian sebelumnya.
Jika seluruh koefisien dari c1 hingga cn adalah nol, maka mereka akan memenuhi persamaan (3.29). Akan tetapi, himpunan dari solusi-solusi ini akan menghasilkan sebuah identitas yaitu ? = 0, yang secara fisik tidak memiliki arti. Dalam usaha untuk memperoleh solusi yang tidak trivial, yang lain dari solusi dengan seluruh {cj} sama dengan nol, deteminan berikut haruslah sama dengan nol.
(3.30)
Elemen ij dari Aij dalam determinan ini diturunkan dari koefisien (Hij ? ?Sij) = Aij
dalam persamaan simultan (3.29). Persamaan (3.30) adalah sebuah
persamaan aljabar dengan orde n untuk ?, dan disebut sebagai persamaan
sekular. Persamaan sekular diekspresikan secara sederhana sebagai [Hij ? ?Sij] = 0, yang mana hanya elemen ij yang ditulis antara sebuah pasangan dari tiang vertikal. ?1, ?2,…,?n(?i ? ?i +1) adalah n buah solusi dari persamaan ini dan memberikan perkiraan atas nilai eigen energi. Nilai eigen terendah ?1
adalah pendekatan terbaik dari energi keadaan dasar yang sebenarnya
dalam jangkauan yang dimungkinkan oleh kombinasi linier untuk ? dalam
persamaan (3.23). Sebagai perbandingan dengan nilai eigen yang
sebenarnya dari energi yang terendah E1, E1,…, nilai eigen yang diperoleh dengan metoda variasi Ritz memenuhi hubungan berikut.
(3.31)
Karenanya ?k (k ? 2) adalah sebuah nilai energi pendekatan untuk keadaan tereksitasi ke-k.
Fungsi gelombang {?k} berhubungan dengan nilai eigen energi pendekatan {?k} dan dapat diperoleh dengan memasukkan ?k ke dalam persamaan simultan (3.29), diikuti dengan mendapatkan {cj}. Harus dicatat di sini bahwa kondisi normalisasi akan memberikan persamaan berikut yang harus dipenuhi untuk {cj}
(3.32)
Contoh 3.2 Hitunglah nilai energi pendekatan dan fungsi gelombang dengan menerapkan metoda variasi Ritz pada ? = c1?1 + c1?1, dengan dilengkapi bahwa H11 = -12 eV, H22 = -6 eV, H12 = H21 = -4 eV, S11 = S2212 = S21 = 0. = 1, S
(Jawaban) Dengan mengunakan kondisi yang diberikan, persamaan sekular diekspresikan oleh
Solusi terendah memberikan energi keadaan dasar ?1 = -14 eV, dan energi yang lebih tinggi berkaitan dengan keadaan energi tereksitasi ?2 = -4eV.
Fungsi gelombang ? dapat diperoleh dengan cara berikut. Dengan menerapkan kondisi yang diberikan untuk kondisi normalisasi pada persamaan (3.32).
(1)
Persamaan simultan (3.29) untuk koefisien c1, c2 memberikan
(2)
Dengan memasukkan nilai-nilai untuk H11, H12 dan ?1 ke dalam persamaan ini (2) akan memberikan
Ini akan menghasilkan c1 = 2c2, dan kemudian persamaan (1) memberikan c1 = 2?5, c2 = 1? 5. Dengan demikian kita mendapatkan keadaan dasar fungsi gelombang.
Berikutnya, memasukkan ?2 ke dalam ? dalam persamaan (2) akan memberikan
Ini akan menghasilkan 2c1 = -c2, dan kemudian persamaan (1) memberikan c1 = 1?5, c2 = -2?5. Dengan demikian kita mendapatkan fungsi gelombang keadaan tereksitasi.
3.2.1 Prinsip variasi
Sebuah nilai ekspektasi percobaan dengan sebuah fungsi sembarang ? diperkenalkan oleh persamaan berikut.(3.21)(3.22)[Bukti]
? dapat diekspansikan dalam suku-suku dari fungsi eigen {?i} untuk ?? sebagai ? = sigmaton ci?i. Perhitungan ?[?]-E0 dengan cara melakukan mengekspansi ?, menggunakan ???i = Ei?i dan juga memperhatikan sifat normalitas dari {?i}, kita akan mendapatkan
Prinsip variasi memberikan sebuah petunjuk untuk mendapatkan fungsi gelombang dan nilai eigen untuk keadaan dasar. Untuk maksud ini, ? harus ditentukan sedemikian rupa hingga nilai ?[?] dengan menggunakan ? dapat menjadi minimum . Resultan ? adalah fungsi eigen dari nilai eigen terendah E0, yang juga fungsi gelombang dari keadaan dasar. Ini akan memberikan kesimpulan bahwa ? ini akan menghasilkan ?[?] yang berkaitan dengan keadaan dasar dengan nilai energi E0.
3.2.2 Metoda variasi dengan menggunakan sebuah pendekatan kombinasi linier (Metoda variasi Ritz)
Sangat sulit untuk menemukan ? dengan meminimalisasi ?[?] dengan dasar prinsip variasi di atas. Untuk berbagai fungsi-fungsi ?12, ?3,…, kita perlu untuk menghitung nilai masing-masing dari ?[?i], dan kita harus menemukan sebuah fungsi yang memberikan nilai minimum. Akan tetapi tidaklah mungkin untuk melakukan tes pada seluruh fungsi. Bahkan jika beberapa kombinasi dari E dan ? memenuhi ??? = E?, nilai eigen terendah di antara semuanya tidak perlu merupakan nilai eigen minimum yang sebenarnya. Karenanya sebuah kompromi dengan beberapa kali percobaan akan memberikan beberapa kali pengulangan dan dapat memberikan hasil yang tidak sukses kecuali jika pilihan yang beruntung dapat dilakukan.Sekarang kita mencoba untuk melakukan tes pada fungsi-fungsi yang lebih luas secara lebih efisien. Sebuah kombinasi linier dari n buah fungsi-fungsi ?1, ?2, ?3,…, ?n
(3.23)Dengan memasukkan persamaan (3.23) ke dalam definisi dari ?[?] akan menghasilkan persamaan berikut.
(3.24)(3.25)(3.26)Berdasarkan prinsip variasi , ?[?] harus dapat diminimalisasi dengan merubah {ci}, yang merupakan koefisien yang diperkenalkan dalam definisi tentang ?. Karena ci dan c*i adalah kompleks konjugat satu dengan yang lainnya, kita mungkin mengambil satu dari mereka sebagai sebuah variabel independen. Karenanya, kita akan mendapatkan kondisi untuk ??/?c*i = 0. Untuk kemudahan, kita dapat menulis ulang persamaan (3.24) sebagai
(3.27)(3.28)(3.29)Jika seluruh koefisien dari c1 hingga cn adalah nol, maka mereka akan memenuhi persamaan (3.29). Akan tetapi, himpunan dari solusi-solusi ini akan menghasilkan sebuah identitas yaitu ? = 0, yang secara fisik tidak memiliki arti. Dalam usaha untuk memperoleh solusi yang tidak trivial, yang lain dari solusi dengan seluruh {cj} sama dengan nol, deteminan berikut haruslah sama dengan nol.
(3.30)(3.31)Fungsi gelombang {?k} berhubungan dengan nilai eigen energi pendekatan {?k} dan dapat diperoleh dengan memasukkan ?k ke dalam persamaan simultan (3.29), diikuti dengan mendapatkan {cj}. Harus dicatat di sini bahwa kondisi normalisasi akan memberikan persamaan berikut yang harus dipenuhi untuk {cj}
(3.32)(Jawaban) Dengan mengunakan kondisi yang diberikan, persamaan sekular diekspresikan oleh
Fungsi gelombang ? dapat diperoleh dengan cara berikut. Dengan menerapkan kondisi yang diberikan untuk kondisi normalisasi pada persamaan (3.32).
(1)(2)
Masalah energi
merupakan salah satuisupentingyang sedang hangat dibicarakan. Semakin
berkurangnya sumber energi, penemuan sumber energi baru, pengembangan
energi-energi alternatif, dan dampak penggunaan energi minyak bumi
terhadap lingkungan hidup menjadi tema-tema yang menarik dan banyak
didiskusikan. Pemanasan global yang diyakini sedang terjadi dan akan
memasuki tahap yang mengkhawatirkan disebut-sebut juga merupakan dampak
penggunaan energi minyak bumi yang merupakan sumber energi utama saat
ini.
Reaksi fisi uranium seperti di atas
menghasilkan neutron selain dua buah inti atom yang lebih ringan.
Neutron ini dapat menumbuk (diserap) kembali oleh inti uranium untuk
membentuk reaksi fisi berikutnya. Mekanisme ini terus terjadi dalam
waktu yang sangat cepat membentuk reaksi berantai tak terkendali.
Akibatnya, terjadi pelepasan energi yang besar dalam waktu singkat.
Mekanisme ini yang terjadi di dalam bom nuklir yang menghasilkan ledakan
yang dahsyat. Jadi, reaksi fisi dapat membentuk reaksi berantai tak
terkendali yang memiliki potensi daya ledak yang dahsyat dan dapat
dibuat dalam bentuk bom nuklir.
Reaktor Chernobyl didirikan di atas tanah rawa di sebelah utara Ukraina, sekitar 80 mil sebelah utara Kiev berlokasi di koordinat 51,3872 LU 30,1114 BT. Terdapat 4 unit Reaktor yang beroperasi di kompleks PLTN Chernobyl, Reaktor unit 1 mulai beroperasi pada 1977, unit 2 pada 1978, unit 3 pada 1981, dan unit 4 pada 1983. Sebuah kota kecil, Pripyat, dibangun dekat PLTN Chernobyl untuk tempat tinggal pekerja pembangkit itu dan keluarganya.
Mobil-mobil pemadam kebakaran ini tidak pernah kembali ke garasi mereka dan para pemadam kebakaran yang mereka angkut tidak pernah kembali ke rumah-rumah mereka. Merekalah yang pertama tiba di tempat kejadian dan mengira itu hanyalah kebakaran biasa. Mereka tidak tahu apa yang sedang mereka hadapi saat itu.
Kita tidak akan pernah bisa melupakan peristiwa pemboman dua kota di Jepang, Hiroshima dan Nagasaki, yang menandai berakhirnya perang dunia kedua. Begitu besar dan luasnya dampak bom atom (tepatnya bom nuklir) secara fisik dan politik terhadap dunia dan bahkan masih tersisa sampai saat ini.
Persamaan ini menyiratkan adanya kaitan antara massa sebuah benda dan energinya, dimana dapat dikatakan bahwa massa dapat diubah menjadi energi.
Bayangkan, 1 kg massa inti yang mengalami pembelahan dapat menghasilkan energi sebesar puluhan juta kilowatt jam (kWh). Ini sama saja dengan energi yang dapat digunakan untuk menyalakan lampu 100 W selama 30 ribu tahun, wow! Tidak heran jika efek dari bom nuklir demikian dahsyatnya, karena energi yang dihasilkan memang sangat besar.
